I legami fra gli scacchi e la matematica sono ben presenti nella storia del
gioco.
Ne fa menzione già un verso di Dante nel Paradiso (XXVIII, 92-93): le luci
del cielo "eran tante, che 'l numero loro più che 'l doppiar degli scacchi
s'immilla".
Ciò a cui Dante si riferisce è l'esplosione aritmetica che si ottiene
da un numero di raddoppi pari alle caselle della scacchiera, cioè 64: a titolo
d'esempio, un foglio di questa rivista, dello spessore di un decimo di millimetro,
se ripiegato su se stesso 64 volte arriverebbe a formare una pila alta circa 70 volte
la distanza fra la Terra e il Sole, che è 150 milioni di chilometri!
Una caratteristica geometrica molto interessante della scacchiera è che essa,
discretizzando un piano continuo, ne perde alcune delle caratteristiche euclidee.
In generale, infatti, è possibile collegare fra loro due punti (caselle)
mediante più di un solo segmento di minima lunghezza (numero di mosse).
Ad esempio, si può andare da un bordo all'altro in linea retta, a zig-zag o in
diagonale, e sempre compiendo sette mosse: a differenza dalla geometria euclidea,
il movimento diagonale non richiede dunque più tempo del movimento orizzontale
o verticale.
In particolare, dividendo la scacchiera lungo una diagonale si ottiene un triangolo
rettangolo in cui sia i lati che la diagonale hanno una lunghezza di otto caselle:
in altre parole, un triangolo retto equilatero per il quale non vale il teorema
di Pitagora.
Un tipico problema scacchistico di natura matematica consiste nel chiedersi qual
è il massimo numero di pezzi di uno stesso tipo che si possono disporre
sulla scacchiera in modo che non si minaccino a vicenda: la risposta è 16 re,
8 regine, 8 torri, 14 alfieri, e 32 cavalli.
Simmetricamente, ci si può chiedere qual è il numero minimo di pezzi
di uno stesso tipo che si possono disporre sulla scacchiera in modo che la minaccino
completamente: la risposta questa volta è 9 re, 5 regine, 8 torri, 8 alfieri,
12 cavalli.
Il lettore può divertirsi da un lato a cercare di convincersi (o, in termini
più matematici, a dimostrare) che le risposte sono corrette (cioè che
più pezzi nel primo caso, e meno pezzi nel secondo, non sono possibili),
e dall�altro a disporre il corretto numero di pezzi sulla scacchiera nel modo richiesto.
Ad esempio il tipico problema delle 8 regine dispone di ben 92 possibili soluzioni.
Un altro tipico problema scacchistico di natura matematica è la determinazione
di un percorso che permetta a un pezzo di partire da una casella data, percorrere
tutte le caselle una e una sola volta, e terminare in una casella data, non
necessariamente coincidente con quella di partenza.
La cosa è semplice per il re e la regina, a causa della loro libertà
di movimento.
Per la torre è possibile solo se le caselle di partenza e di arrivo hanno
colori diversi.
Per l'alfiere è impossibile, perchè si trova sempre su caselle dello
stesso colore.
E per il cavallo è possibile, ma complicato.
I percorsi del cavallo sono forse il problema ispirato agli scacchi che più
ha interessato i matematici: una prima soluzione risale a De Moivre agli inizi del
XVIII secolo, la prima trattazione sistematica a Eulero nel 1759 e il metodo
più generale a Roget nel 1840.
Per una soluzione euristica, si divide la scacchiera in un quadrato interno 4x4 e
in un bordo esterno di due caselle, si piazza il cavallo sul bordo e si procede
sempre nello stesso senso, cercando di rimanere sempre sul bordo fino a che lo si
è ricoperto interamente, entrando nel quadrato solo se strettamente necessario
e uscendone appena possibile, e si passa poi a completare il quadrato.
Provare per credere!
Un uso inaspettato del percorso del cavallo, su una scacchiera 10x10, si trova (o
meglio, non si trova, a meno di saperlo) nella struttura del grande romanzo
"La vita: istruzioni per l'uso" di Georges Perec, un'opera del 1978 sulla quale
ritorneremo in futuro perchè ha molte altre caratteristiche di interesse
matematico.
Finora ci siamo limitati a citare problemi che costituiscono interessanti esercizi
matematici di ispirazione scacchistica, ma non abbiamo affrontato una vera analisi
del gioco stesso.
Per il matematico in teoria il gioco degli scacchi si riduce all'albero,
gigantesco ma finito, che comprende tutte le possibili mosse di tutte le
possibili partite: il primo livello consiste delle 20 possibili aperture del bianco;
il secondo livello delle 20 possibili aperture del nero in risposta a ciascuna
apertura del bianco, cioè dei 400 possibili scambi di apertura; e ogni
livello si ottiene dal precedente aggiungendo a ciascun nodo tutte le possibili risposte.
Ciascun ramo dell'albero è finito, e descrive una partita che finisce o in
una vittoria del bianco, o in una vittoria del nero, o in una patta.
Al Congresso Internazionale dei Matematici del 1912 Ernst Zermelo notò
che il gioco degli scacchi è determinato, nel senso seguente: o esiste
una strategia che permette al bianco di vincere sempre, o esiste una strategia
che permette al nero di vincere sempre, o esiste una strategia che permette a
entrambi i giocatori di pattare sempre (affermazione ben più forte di
quella, ovvia, che in ogni partita o il bianco vince, o il nero vince, o i due
pattano).
Supponiamo infatti che non esistano strategie che permettano al bianco di vincere
sempre, o al nero di vincere sempre.
Poichè il bianco non ha una strategia vincente, nessuna sua apertura
può essere vincente fin dagli inizi: deve cioè essere possibile
per il nero rispondere in modo che potrebbe condurre a una sua vittoria o a una patta.
Poichè neppure il nero ha una strategia vincente, il bianco può
però scegliere un'apertura che non è perdente: tale cioè
che, comunque il nero risponda, sarà possibile al bianco rispondere a sua
volta in modo che potrebbe condurre a una sua vittoria o a una patta.
È dunque possibile per entrambi i giocatori muovere in modo che, dopo
entrambe le aperture, nessuno dei due si trovi in una situazione che porterà
inevitabilmente a una vittoria altrui.
Ma questa era appunto la situazione di partenza, e dunque il ragionamento si
può ripetere indefinitamente: si è così definita una strategia
per entrambi i giocatori, che impedisce all'avversario di vincere, e permette dunque
a ciascuno di pattare.
Naturalmente, per ottenere effettivamente la strategia, si dovrebbe conoscere
completamente l'albero di tutte le partite, e se questo fosse possibile il gioco
perderebbe completamente di interesse per i giocatori.
Il teorema di Zermelo fu comunque il primo fondamentale passo della teoria dei
giochi.
Andando oltre le particolarità degli scacchi, che sono un gioco finito,
a due giocatori, a vincita qualitativa (in cui l'unica posta è la vittoria),
a somma zero (in cui si vince a scapito di chi perde: mors tua, vita mea), e a
informazione perfetta (in cui si gioca "a carte scoperte"), la teoria ha esteso
il suo interesse a giochi che possono essere infiniti, a più giocatori
(in cui è possibile formare alleanze), a vincite quantitative (in cui si
è interessati non soltanto a vincere, ma a quanto si vince), a somma non
necessariamente zero (in cui non si vince necessariamente a scapito dell'avversario),
e a informazione imperfetta (in cui i giocatori non conoscono completamente le
mosse precedenti degli avversari, come avviene ad esempio quando si scartano carte
nel poker e nel bridge).